kvm-mtv.ru → Путешествия

Распределение частиц внешнем потенциальном поле. Барометрическая формула. Закон Больцмана для распределения частиц во внешнем потенциальном поле. Все силы направлены по одной прямой, поэтому

Барометрическая формула зависимость давления или плотности газа от высоты в поле тяжести. Для идеального газа имеющего постоянную температуру T и находящегося в однородном поле тяжести во всех точках его объёма ускорение свободного падения g одинаково барометрическая формула имеет следующий вид: где p давление газа в слое расположенном на высоте h p0 давление на нулевом уровне h = h0 M молярная масса газа R газовая постоянная T абсолютная температура. Из барометрической формулы следует что концентрация молекул n или...

45.Барометрическая формула. Закон Больцмана для распределения частиц во внешнем потенциальном поле.

Барометрическая формула зависимость давления или плотности газа от высоты в поле тяжести. Для идеального газа , имеющего постоянную температуру T и находящегося в однородном поле тяжести (во всех точках его объёма ускорение свободного падения g одинаково), барометрическая формула имеет следующий вид:

где p давление газа в слое, расположенном на высоте h , p 0 давление на нулевом уровне (h = h 0 ), M молярная масса газа, R газовая постоянная , T абсолютная температура . Из барометрической формулы следует, что концентрация молекул n (или плотность газа) убывает с высотой по тому же закону:

где M молярная масса газа, R газовая постоянная.

Барометрическая формула показывает, что плотность газа уменьшается с высотой по экспоненциальному закону. Величина , определяющая быстроту спада плотности, представляет собой отношение потенциальной энергии частиц к их средней кинетической энергии, пропорциональной kT . Чем выше температура T , тем медленнее убывает плотность с высотой. С другой стороны, возрастание силы тяжести mg (при неизменной температуре) приводит к значительно большему уплотнению нижних слоев и увеличению перепада (градиента) плотности. Действующая на частицы сила тяжести mg может изменяться за счёт двух величин: ускорения g и массы частиц m .

Следовательно, в смеси газов, находящейся в поле тяжести, молекулы различной массы по-разному распределяются по высоте.

Пусть идеальный газ находится в поле консервативных сил в условиях теплового равновесия. При этом концентрация газа будет различной в точках с различной потенциальной энергией, что необходимо для соблюдения условий механического равновесия. Так, число молекул в единичном объеме n убывает с удалением от поверхности Земли, и давление, в силу соотношения P = nkT , падает.

Если известно число молекул в единичном объеме, то известно и давление, и наоборот. Давление и плотность пропорциональны друг другу, поскольку температура в нашем случае постоянна. Давление с уменьшением высоты должно возрастать, потому что нижнему слою приходится выдерживать вес всех расположенных сверху атомов.

Исходя из основного уравнения молекулярно-кинетической теории: P = nkT , заменим P и P 0 в барометрической формуле (2.4.1) на n и n 0 и получим распределение Больцмана для молярной массы газа:

(2.5.1)

где n 0 и n - число молекул в единичном объёме на высоте h = 0 и h .

Так как а , то (2.5.1) можно представить в виде

(2.5.2)

С уменьшением температуры число молекул на высотах, отличных от нуля, убывает. При T = 0 тепловое движение прекращается, все молекулы расположились бы на земной поверхности. При высоких температурах, наоборот, молекулы оказываются распределёнными по высоте почти равномерно, а плотность молекул медленно убывает с высотой. Так как mgh это потенциальная энергия U , то на разных высотах U = mgh различна. Следовательно, (2.5.2) характеризует распределение частиц по значениям потенциальной энергии:

(2.5.3)

это закон распределения частиц по потенциальным энергиям распределение Больцмана. Здесь n 0 число молекул в единице объёма там, где U = 0.

На рисунке 2.11 показана зависимость концентрации различных газов от высоты. Видно, что число более тяжелых молекул с высотой убывает быстрее, чем легких.

Рис. 2.11

Из (2.5.3) можно получить, что отношение концентраций молекул в точках с U 1 и i>U 2 равно:

(2.5.4)

Больцман доказал, что соотношение (2.5.3) справедливо не только в потенциальном поле сил гравитации, но и в любом потенциальном поле, для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать
42675.		Изучение конструкции и поверки измерительного преобразователя давления типа "Сапфир – 22ДИ"	35.5 KB
	Березники 2003 Цель работы ознакомиться с принципом действия и конструкцией измерительного преобразователя типа Сапфир22ДИ; выполнить проверку измерительного преобразователя типа Сапфир22ДИ; приобрести навыки в определении давления при помощи измерительных преобразователей типа Сапфир. Стенды предназначены для проведения лабораторных работ по поверке автоматического миллиамперметра КСУ2 в комплекте с преобразователем давления Сапфир22ДИ. На втором стенде установлены автоматический миллиамперметр КСУ2 клеммы Миллиамперметр...
42676.		Изучение конструкции и поверки вторичного прибора РП160	40.5 KB
	Цель работы ознакомление с работой измерительной системы измерения температуры в комплекте пирометр сопротивления заменён магазином сопротивления нормирующий преобразователь НПСЛ вторичный прибор РП160. Порядок проведения работы: Ознакомились со схемой подключения магазина сопротивления нормирующего преобразователя вторичного прибора; Установили магазином сопротивления сопротивление 4171 атм. соответствующее температуре 50С значение температуры считали по шкале прибора РП160; Рассчитали значение...
42677.		Изучение и исследование термоэлектрического метода измерения температур	96 KB
	При этом студенты овладевают методикой поверки автоматического потенциометра КСП4 в комплекте с образцовым потенциометром УПИП60М градуировки шкалы. магазин сопротивлений R4 R10 и клеммы для подключения образцового потенциометра УПИП60М. Поверка автоматического потенциометра КСП4. Для поверки градуировки шкалы автоматического потенциометра КСП4 собирают схему по рисунку.
42678.		Изучение работы жидкостного U – образного манометра и комплекта приборов для измерения давления пневматической ветви ГСП	403.5 KB
	Березники 2007 Цель работы в процессе выполнения лабораторной работы студенты закрепляют знания по разделу Измерение давления и Дистанционная передача сигнала измерительной информации теоретического курса Технические измерения и приборы. Студенты знакомятся с принципом действия устройством преобразователя измерительного разности давления пневматического 13ДД11 в комплекте с вторичным прибором РПВ4. Стенд предназначен для выполнения лабораторной работы по изучению работы измерительного преобразователя разности давления...
42680.			278 KB
	Ознакомиться c основными процедурами, предшествующим установлению ресурса ВС; методами схематизации процессов нагружения. Оформить отчет №1 по лабораторной работе в виде рукописного конспекта, с необходимыми иллюстрациями. В отчете дайте развернутые ответы на все вопросы, которые приведены ниже.
42681.		Исследование процесса испытания конструкционных материалов при случайном режиме нагружения	40 KB
	Ознакомиться c гипотезами накопления повреждений; Стандартизированными спектрами нагружения используемых при изучении усталостных характеристик летательных аппаратов. ВОПРОСЫ В чем заключается смысл концепции линейного накопления повреждений при усталости Основные недостатки линейной гипотезы накопления повреждений В чем заключается смысл модифицированных гипотез...
42682.		Автоматические системы контроля технического состояния самолета. Деформационный рельеф плакированных сплавов как показатель истории нагруженности	1.63 MB
	Ознакомиться с проблемами концентрации напряжения и коэффициентами которые определяют ее; принципами построения автоматизированной системой контроля технического состояния самолета; деформационным рельефом который является показателем поврежденности конструкции самолета. На распечатанном рисунке самолета А380 формат А2 нанести примеры применения систем контроля целостности конструкции. ВОПРОСЫ В чем...
42683.		Основные приемы работы в СУБД Microsoft Access	292 KB
	Основные приемы работы в СУБД Microsoft ccess Приложение ccess является программой входящий в пакет Microsoft Office и предназначено для работы с базами данных. База данных. В общем смысле термин база данных можно применить к любой совокупности связанной информации объединенной вместе по определенному признаку организованных по определенным правилам предусматривающим общие принципы описании хранения и манипулирования данными которые относятся к определенной предметной области. Система управления базами данных СУБД прикладное...

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории предполагалось, что если на молекулы газа не действуют внешние силы, то молекулы равномерно распределены по объему. Однако молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение, с одной стороны, и тепловое движение молекул, с другой, приводят к некоторому стационарному состоянию газа, при котором концентрация молекул газа и его давление с высотой убывают. Выведем закон изменения давления газа с высотой, предполагая при этом, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова. Если атмосферное давление на высоте hравно р, то на высотеh+dhоно равно р +dp(рис.1.2). Приdh> 0,dр < 0, т.к. давление с высотой убывает. Разность давлений р и (р +dр) равна гидростатическому давлению столба газа авсd, заключенного в объеме цилиндра высотойdhи площадью с основанием равным единице. Это запишется в следующем виде:p- (p+dp) =gρdh, -dp=gρdhилиdp= ‑gρdh, гдеρ– плотность газа на высотеh. Воспользуемся уравнением состояния идеального газа рV=mRT/Mи выразим плотностьρ=m/V=pM/RT. Подставим это выражение в формулу дляdр:

dp= -pMgdh/RTилиdp/p= -Mgdh/RT

Интегрирование данного уравнения дает следующий результат:
Здесь С – константа и в данном случае удобно обозначить постоянную интегрирования черезlnC. Потенцируя полученное выражение, находим, что

При условии h=0 получим, что С=р 0 , где р 0 -давление на высотеh=0.

Д
анное выражение называется барометрической формулой. Она позволяет найти атмосферное давление в зависимости от высоты, или высоту, если известно давление.

Зависимость давления от высоты демонстрирует рисунок 1.3. Прибор для определения высоты над уровнем моря называется высотомером или альтиметром. Он представляет собой барометр, проградуированный в значениях высоты.

1. 5. Закон Больцмана о распределении частиц во внешнем потенциальном поле. @

Если воспользоваться выражением р = nkT, то можно привести барометрическую формулу к виду:

з
десьn– концентрация молекул на высотеh,n 0 – то же у поверхности Земли. Так как М =m 0 N A , гдеm 0 – масса одной молекулы, аR=kN A , то мы получим П =m 0 gh– это потенциальная энергия одной молекулы в поле тяготения. ПосколькуkT~‹ε пост ›, то концентрация молекул на определенной высоте зависит от соотношения П и ‹ε пост ›

Полученное выражение называется распределением Больцмана для внешнего потенциального поля. Из него следует, что при постоянной температуре плотность газа (с которой связана концентрация) больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.

1. 6. Распределение Максвелла молекул идеального газа по скоростям. @

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории отмечалось, что молекулы имеют различные скорости. В результате многократных соударений скорость каждой молекулы меняется со временем по модулю и по направлению. Из-за хаотичности теплового движения молекул все направления являются равновероятными, а средняя квадратичная скорость остается постоянной. Мы можем записать

Постоянство ‹υ кв › объясняется тем, что в газе устанавливается стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям, которое подчиняется определенному статистическому закону. Этот закон теоретически был выведен Д.К.Максвеллом. Он рассчитал функциюf(), называемую функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон всех возможных скоростей молекул на малые интервалы, равныеd, то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекулdN(), имеющих скорость, заключенную в этом интервале (Рис.1.4.).

Функция f(v) определяет относительное число молекул, скорости которых лежат в интервале от  до + d. Это число - dN()/N= f()d.Применяя методы теории вероятностей, Максвелл нашел вид для функции f()

Данное выражение - это закон о распределении молекул идеального газа по скоростям.Конкретный вид функции зависит от рода газа, массы его молекул и температуры (рис.1.5). Функция f()=0 при =0 и достигает максимума при некотором значении  в, а затем асимптотически стремится к нулю. Кривая несимметрична относительно максимума. Относительное число молекул dN()/N, скорости которых лежат в интервале d и равное f()d, находится как площадь заштрихованной полоски основанием dv и высотой f(), показанной на рис.1.4. Вся площадь, ограниченная кривой f() и осью абсцисс равна единице, потому что, если просуммировать все доли молекул, имеющих всевозможные значения скорости, то получается единица. Как показано на рис.1.5, с ростом температуры кривая распределения смещается вправо, т.е. растет число быстрых молекул, но площадь под кривой остается постоянной, т.к. N = const.

Скорость  в, при которой функция f() достигает максимума, называется наиболее вероятной скоростью. Из условия равенства нулю первой производной функцииf(v) ′ = 0 следует, что

Н
а рисунке 1.4. отмечена еще одна характеристика – средняя арифметическая скорость молекулы. Она определяется по формуле:

Опыт, проведенный немецким физиком О.Штерном, экспериментально подтвердил справедливость распределения Максвелла (рисунок 1.5.). Прибор Штерна состоит из двух коаксиальных цилиндров. Вдоль оси внутреннего цилиндра со щелью проходит платиновая проволока, покрытая слоем серебра. Если пропустить по проволоке ток,она нагревается и серебро испаряется. Атомы серебра, вылетая через щель, попадают на внутреннюю поверхность второго цилиндра. Если прибор будет вращаться, то атомы серебра осядут не против щели, а сместятся от точки О на некоторое расстояние. Исследование количество осадка позволяет оценить распределение молекул по скоростям. Оказалось, что распределение соответствует максвелловскому.

Исходя из основного уравнения молекулярно-кинетической теории: P = nkT , заменим P и P 0 в барометрической формуле (2.4.1) на n и n 0 и получим распределение Больцмана для молярной массы газа:

Так как а , то (2.5.1) можно представить в виде

Закон больцмана для распределения частиц во внешнем потенциальном поле

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

БОЛЬЦМАН (Boltzmann) Людвиг (1844-1906), австрийский физик, один из основателей статистической физики и физической кинетики, иностранный член-корреспондент Петербургской АН (1899). Вывел функцию распределения, названную его именем, и основное кинетическое уравнение газов. Дал (1872) статистическое обоснование второго начала термодинамики. Вывел один из законов теплового излучения (закон Стефана - Больцмана).

Из-за хаотического движения изменения в положении каждой частицы (молекулы, атома и т.д.) физической системы (макроскопического тела) носят характер случайного процесса. Поэтому можно говорить о вероятности обнаружить частицу в той или иной области пространства.

Из кинематики известно, что положение частицы в пространстве характеризуется ее радиусом-вектором или координатами.

Рассмотрим вероятность dW() обнаружить частицу в области пространства определяемой малым интервалом значений радиуса-вектора , если физическая система находится в состоянии термодинамического равновесия.

Векторный интервал будем измерять объемом dV=dxdydz.

Плотность вероятности (функция вероятности распределения значений радиуса-вектора )

Частица в данный момент времени реально где-то находится в указанном пространстве, значит должно выполняться условие нормировки:

Найдем функцию вероятности распределения частиц f() классического идеального газа. Газ занимает весь объем V и находится в состоянии термодинамического равновесия с температурой Т.

При отсутствии внешнего силового поля все положения каждой частицы равновероятны, т.е. газ занимает весь объем с одинаковой плотностью. Поэтому f() = c onst.

Используя условие нормировки найдем, что

Если число частиц газа N, то концентрация n = N/V .

Следовательно, f(r) =n/N .

Вывод : в отсутствие внешнего силового поля вероятность dW() обнаружить частицу идеального газа в объеме dV не зависит от положения этого объема в пространстве, т.е. .

Поместим идеальный газ во внешнее силовое поле.

В результате пространственного перераспределения частиц газа плотность вероятности f() ¹ c onst.

Концентрация частиц газа n и давление его Р будут различными, т.е. в пределе где D N — среднее число частиц в объеме D V и давление в пределе , где D F- абсолютное значение средней силы, действующей нормально на площадку D S.

Если силы внешнего поля являются потенциальными и действуют в одном направлении (например, сила тяжести Земли направлена вдоль оси z), то силы давления, действующие на верхнее dS 2 и нижнее dS 1 основания объема dV, не будут равны друг другу (рис. 2.2).

В этом случае разность сил давления dF на основания dS 1 и dS 2 должна быть скомпенсирована действием сил внешнего поля .

Суммарная разность сил давления dF = nGdV,

где G — сила, действующая на одну частицу со стороны внешнего поля.

Разность сил давления (по определению давления) dF = dPdxdy. Следовательно, dP = nGdz.

Из механики известно, что потенциальная энергия частицы во внешнем силовом поле связана с силой этого поля соотношением .

Тогда разность давлений на верхнее и нижнее основания выделенного объема dP = — n dW p .

В состоянии термодинамического равновесия физической системы ее температура Т в пределах объема dV везде одинакова. Поэтому используем уравнение состояния идеального газа для давления dP = kTdn.

Решив совместно последние два равенства получим, что

— ndW p = kTdn или .

После преобразований найдем, что

где ℓ n n o — постоянная интегрирования (n o — концентрации частиц в том месте пространства, где W p =0).

После потенцирования, получим

Вывод: в состоянии термодинамического равновесия концентрация (плотность) частиц идеального газа, находящегося во внешнем силовом поле, изменяется по закону, определяемому формулой (2.11), которую называют распределением Больцмана .

С учетом (2.11) функция вероятности распределения молекул в поле силы тяжести принимает вид

Вероятность обнаружить частицу идеального газа в объеме dV, расположенного у точки, определяемой радиусом-вектором , представим в виде

Для идеального газа давление отличается от концентрации только постоянным множителем kT (P=nkT).

Следовательно, для таких газов давление

Применим распределение Больцмана к атмосферному воздуху, находящему в поле тяготения Земли.

В состав атмосферы Земли входят газы: азот — 78,1 %; кислород — 21 %; аргон-0,9 %. Масса атмосферы -5,15 × 10 18 кг. На высоте 20-25 км — слой озона.

Вблизи земной поверхности потенциальная энергия частиц воздуха на высоте h W p = m o gh , где m o — масса частицы.

Потенциальная энергия на уровне Земли (h=0) равна нулю (W p =0).

Если в состоянии термодинамического равновесия частицы земной атмосферы имеют температуру Т, то изменение давления атмосферного воздуха с высотой происходит по закону

Формула (2.15) называется барометрической формулой ; применима для разреженных смесей газов.

Заключение : для земной атмосферы чем тяжелее газ, тем быстрее падает его давление в зависимости от высоты, т.е. по мере увеличения высоты атмосфера должна все более обогащаться легкими газами. Из-за изменения температуры атмосфера не находится в равновесном состоянии. Следовательно, барометрическую формулу можно применять к малым участкам, в пределах которых изменения температуры не происходит. Кроме того, на неравновесность земной атмосферы влияет гравитационное поле Земли, которое не может удержать ее вблизи поверхности планеты. Происходит рассеивание атмосферы и тем быстрее, чем слабее гравитационное поле. Например, земная атмосфера рассеивается достаточно медленно. За время существования Земли (

4-5 млрд. лет) она потеряла малую часть своей атмосферы (в основном легких газов: водорода, гелия и др.).

Гравитационное поле Луны слабее земного, поэтому она практически полностью потеряла свою атмосферу.

Неравновесность земной атмосферы можно доказать следующим образом. Допустим, что атмосфера Земли пришла в состояние термодинамического равновесия и в любой точке ее пространства она имеет постоянную температуру. Применим формулу Больцмана (2.11), в которой роль потенциальной энергии выполняет потенциальная энергия гравитационного поля Земли, т.е.

где g — гравитационная постоянная; М з — масса Земли; m o — масса частицы воздуха; r — расстояние частицы от центра Земли.

При r ® ¥ W p =0. Поэтому распределение Больцмана (2.11) принимает вид

files.lib.sfu-kras.ru

11.2 Закон распределения молекул идеального газа во внешнем силовом поле

При рассмотрении кинетической теории газов и закона распределения Максвелла предполагалось, что на молекулы газа не действуют никакие силы, за исключением ударов молекул. Поэтому, молекулы равномерно распределяются по всему сосуду. В действительности молекулы любого газа всегда находятся в поле тяготения Земли. Вследствие этого, каждая молекула массой m испытывает действие силы тяжести f =mg.

Выделим горизонтальный элемент объема газа высотой dh и площадью основания S (рис. 11.2). Считаем газ однородным и температуру его постоянной. Число молекул в этом объеме равно произведению его объема dV=Sdh на число молекул в единице объема. Полный вес молекул в выделенном элементе равен

Действие веса dF вызывает давление, равное

минус — т.к. при увеличении dh давление уменьшается. Согласно основному уравнению молекулярно-кинетической теории

Приравнивая правые части (11.2) и (11.3), получаем

или

Интегрируя это выражение в пределах от до h (соответственно концентрация изменяется от до n):

получим

Потенцируя полученное выражение, находим

Показатель степени при exp имеет множитель , который определяет приращение потенциальной энергии молекул газа. Если переместить молекулу с уровня до уровня h, то изменение ее потенциальной энергии будет

Тогда уравнение для концентрации молекул преобразуется к виду

Это уравнение отображает общий закон Больцмана и дает распределение числа частиц в зависимости от их потенциальной энергии. Он применим к любой системе частиц, находящихся в силовом поле, например в электрическом.

physics-lectures.ru

Распределение Больцмана

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Предположим, что газ находится во внешнем потенциальном поле. В таком случае молекула газа массы $m_0\ ,$ движущаяся со скоростью $\overrightarrow \ $имеет энергию $_p$, которая выражается формулой:

Вероятность ($dw$) нахождения этой частицы в фазовом объеме $dxdydzdp_xdp_ydp_z$ равно:

Плотности вероятности координат частицы и ее импульсов независимы, следовательно:

Формула (5) дает распределение Максвелла для скоростей молекул. Рассмотрим внимательнее выражение (4), которое приводит к распределению Больцмана. $dw_1\left(x,y,z\right)$ — плотность вероятности нахождения частицы в объеме $dxdydz$ вблизи точки с координатами $\left(x,y,z\right)$. Будем считать, что молекулы газа независимы и в выделенном объеме газа n частиц. Тогда по формуле сложения вероятностей получим:

Коэффициент $A_1$ находится из условия нормировки, которое в имеющемся у нас случае значит, что в выделенном объеме n частиц:

Что такое распределение Больцмана

Распределением Больцмана называют выражение:

Выражение (8) задает пространственное распределение концентрации частиц в зависимости от их потенциальной энергии. Коэффициент $A_1$ не вычисляют, если необходимо знать только распределение концентрации частиц, а не их количество. Допустим, что в точке ($x_0,y_ z_0$) задана концентрация $n_0$=$n_0$ $(x_0,y_ z_0)=\frac $, потенциальная энергия в той же точке $U_0=U_0\left(x_0,y_ z_0\right).$ Обозначим концентрацию частиц в точке (x,y,z) $n_0\ \left(x,y,z\right).\ $Подставим данные в формулу (8), получим для одной точки:

для второй точки:

Выразим $A_1$ из (9), подставим в (10):

Чаще всего распределение Больцмана используют именно в виде (11). Особенно удобно подобрать нормировку, при которой $U_0\left(x,y,z\right)=0$.

Распределение Больцмана в поле сил тяжести

Распределение Больцмана в поле сил тяжести имеет можно записать в следующем виде:

где $U\left(x,y,z\right)=m_0gz$ — потенциальная энергия молекулы массы $m_0$ в поле тяжести Земли, $g$ — ускорение свободного падения, $z$ — высота. Или для плотности газа распределение (12) запишется как:

Выражение (13) называют барометрической формулой.

При выводе распределения Больцмана никаких ограничений для массы частицы не применялось. Следовательно, оно применимо и для тяжелых частиц. Если масса частицы велика, то показатель экспоненты быстро изменяется с высотой. Таким образом, сама экспонента быстро стремится к нулю. Для того, чтобы тяжелые частицы «не осели на дно», необходимо, чтобы их потенциальная энергия была малой. Это достигается в том случае, если частицы помещают, например, в плотную жидкость. Потенциальная энергия частицы U(h) на высоте h взвешенная в жидкости:

где $V_0$- объем частиц, $\rho $- плотность частиц, $_0$ — плотность жидкости, h — расстояние (высота) от дна сосуда. Следовательно, распределение концентрации частиц взвешенных в жидкости:

Для того, чтобы эффект был заметен, частицы должны быть малы. Визуально этот эффект наблюдают с помощью микроскопа.

Лень читать?

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Средняя длина свободного пробега молекулы равна отношению пути, пройденного молекулой за 1 с, к числу происшедших за это время столкновений: = / =1/(42r 2 n 0).

24.Внутренняя энергия идеального газа.

Внутренняя энергия – это сумма энергий молекулярных взаимодействий и энергии теплового движения молекул.

Внутренняя энергия системы зависит только от её состояния и является однозначной функцией состояния.

Внутренняя энергия идеального газа пропорциональна массе газа и его термодинамической температуре.

Работа газа при расширении.

Пусть в цилиндре под поршнем находится газ, занимающий объём V под давлением p. Площадь поршня S. Сила, с которой газ давит на поршень, F=pS. При расширении газа поршень понимается на высоту dh, при этом газ совершает работу A=Fdh=pSdh. Но Sdh=dV – увеличение объёма газа. Следовательно элементарная работа A=pdV. Полную работу A, совершаемую газом при изменении его объёма от V1 до V2 найдём интегрированием

Результат интегрирования зависит от процесса, протекающего в газах.

При изохорном процессе V=const, следовательно, dV=0 и A=0.

При изобарном процессе p=const, тогда

Работа при изобарном расширении газа равна произведению давления газа на увеличение объёма.

При изотермическом процессе T=const. p=(mRT)/(MV).

Количество теплоты.

Энергия, переданная газу путём теплообмена, называется количеством теплоты Q .

При сообщении системе бесконечно малого количества теплоты Q его температура изменится на dT.

26. Теплоёмкостью С системы называют величину, равную отношению сообщенного системе количества теплоты Q к изменению температуры dT системы: C=Q/dT.

Различают удельную теплоёмкость (теплоёмкость 1 кг вещества) c=Q/(mdT) и молярную теплоёмкость (теплоёмкость 1 моль вещества) c=Mc.

При различных процессах, протекающих в термодинамических системах, теплоёмкости будут различны.

23. Барометрическая формула. Распределение Больцмана для частиц во внешнем потенциальном поле.

закон изменения давления с высотой, предполагая, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова

Выражение (45.2) называется барометрической формулой. Она позволяет найти атмосферное давление в зависимости от высоты или, измерив давление, найти высоту: Так как высоты обозначаются относительно уровня моря, где давление считается нормальным, то выражение (45.2) может быть записано в виде

где р - давление на высоте h.

Барометрическую формулу (45.3) можно преобразовать, если воспользоваться выражением (42.6) p = nkT :

где n – концентрация молекул на высоте h , n 0 – то же, на высоте h = 0. Так как M= m 0 N A (N A – постоянная Авогадро, т 0 – масса одной молекулы), a R = kN A , то

где m 0 gh =П - потенциальная энергия молекулы в поле тяготения, т. е.

Выражение (45.5) называется распределением Больцмана для внешнего потенциального поля. Из вето следует, что при постоянной температуре плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.

Если частицы имеют одинаковую массу и находятся в состоянии хаотического теплового движения, то распределение Больцмана (45.5) справедливо в любом внешнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести.

24. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы. Число степеней свободы. Средняя кинетическая энергия теплового движения молекул.

На среднюю кинетическую энергию молекулы, имеющей i-степеней свободы, приходится Это есть закон Больцмана о равномерном распределении средней кинетической энергии по степеням свободы. Молекулы можно рассматривать как системы материальных точек (атомов) совершающих как поступательное, так и вращательное движения. При движении точки по прямой линии для оценки ее положения необходимо знать одну координату, т.е. точка имеет одну степень свободы. Если точка движения по плоскости, ее положение характеризуется двумя координатами; при этом точка обладает двумя степенями свободы. Положение точки в пространстве определяется 3 координатами. Число степеней свободы обычно обозначают буквой i. Молекулы, которые состоят из обычного атома, считаются материальными точками и имеют три степени свободы (аргон, гелий). Средняя кинетическая энергия молекул газа (в расчете на одну молекулу) определяется выражениемКинетическая энергия поступательного движения атомов и молекул, усредненная по огромному числу беспорядочно движущихся частиц, является мерилом того, что называется температурой. Если температура T измеряется в градусах Кельвина (К), то связь ее с Ek дается соотношениемИз уравнений (6) и (7) можно определить значение средне-квадратичной скорости молекулВнутренняя энергия идеального газа равна сумме кинетических энергий всех частиц газа, находящихся в непрерывном и беспорядочном тепловом движении. Отсюда вытекает закон Джоуля, подтверждаемый многочисленными экспериментами. Внутренняя энергия идеального газа зависит только от его температуры и не зависит от объема Молекулярно-кинетическая теория приводит к следующему выражению для внутренней энергии одного моля идеального одноатомного газа (гелий, неон и др.), молекулы которого совершают только поступательное движение:Поскольку потенциальная энергия взаимодействия молекул зависит от расстояния между ними, в общем случае внутренняя энергия U тела зависит наряду с температурой T также и от объема V: U = U (T, V). Принято говорить, что внутренняя энергия является функцией состояния.

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории и закона распределения Максвелла предполагалось, что на молекулы не действуют никакие внешние силы. Поэтому можно было считать, что молекулы равномерно распределены по объему сосуда.

Фактически же молекулы любого газа всегда находятся в поле тяготения Земли. Если бы не было теплового движения молекул атмосферного воздуха, то все они упали бы на Землю. Если бы не было тяготения, то атмосферный воздух рассеялся бы по всей Вселенной. Таким образом, тяготение и тепловое движение приводят газ в состояние, при котором его давление и концентрация молекул зависят от высоты.

Формула зависимости атмосферного давления от высоты над уровнем Земли получила название барометрической формулы. Для вывода барометрической формулы введем некоторые допущения:

Ускорение свободного падения считаем практически постоянным и не зависящим от высоты, так как атмосферное давление становится пренебрежительно малым уже на высоте 100-200 км, гораздо меньшей по сравнению с радиусом Земли;

Температуру воздуха считаем не зависящей от высоты.

Атмосферное давление обусловлено весом вышележащих слоев газа. Выделим мысленно вертикальный столб воздуха (рис. 18.1) с площадью основания S .

Пусть на высоте h давление газа равно p , а на высоте (h+dh ) давление равно (p+dp ). Так как давление с увеличением высоты падает, то его приращение будет отрицательным (dp < 0).

Разность давлений p и (p+dp ) равна весу газа, заключенного в столбе высотой dh, деленной на площадь S, то есть

, (18.1)

где  - плотность воздуха на высота h .

Заменив в этом уравнении плотность  по формуле, полученной с помощью уравнения Клапейрона-Менделеева (14.1):

запишем выражение (18.1) в виде

. (18.2)

Полагая T=const (в соответствии с принятыми допущениями) и интегрируя уравнение (18.2) по высоте от 0 до h , получим

откуда находим

, (18.3)

где p 0 - давление на высоте h = 0.

Выражение (18.3) носит название барометрической формулы. Из нее следует, что давление газа убывает с ростом высоты тем быстрее, чем тяжелее газ (чем больше  ) и чем ниже температура. На рис.18.2 изображены две зависимости вида (18.3), соответствующие двум газам с разными молярными массами  1 и  2 при T=const (давление p 0 для h=0 у обоих газов принято условно одинаковым).

Сравнение этих зависимостей показывает, что более тяжелые газы будут располагаться ближе к поверхности Земли (поэтому в нижних слоях атмосферы относительное количество кислорода больше, чем азота, а в верхних - наоборот). Выражение (18.3), преобразованное к виду

(18.4)

лежит в основе принципа работы авиационных высотомеров (альтиметров): измеряя с помощью барометра давление, эти приборы показывают значение высоты над уровнем моря.

Из формулы (18.3) можно получить соотношение между концентрациями газа на различной высоте, подставив в нее уравнение состояния газа в форме (15.26):

. (18.5)

Заменив отношение  / R для однородного газа на отношение m/k (m - масса молекулы) и сократив обе части равенства на k Т , получим

, (18.6)

где n 0 - концентрация молекул газа при h =0.

Из выражения (18.6) следует, что чем тяжелее газ (больше m ) и чем меньше его температура Т , тем больше концентрация молекул у поверхности Земли по сравнению с концентрацией на некоторой высоте (преобладание тяготения Земли над тепловым движением молекул). И наоборот, чем легче газ и больше его температура, тем более тепловое движение молекул преобладает над тяготением и концентрация медленно убывает с ростом высоты.

На рис.18.3 изображены две зависимости вида (18.6) для некоторого одного газа при двух разных температурах (T 2 >T 1 ).

Сравнение этих зависимостей показывает, что чем меньше температура газа, тем большая неоднородность наблюдается в распределении концентрации молекул газа по высоте.

Произведение mgh в уравнении (18.6) представляет собой потенциальную энергию W n одной молекулы в поле тяготения Земли. Следовательно, распределение молекул по высоте является вместе с тем и распределением их по значениям

потенциальной энергии:

. (18.7)

Австрийский физик Л. Больцман доказал, что формула (18.7) справедлива для любой совокупности одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения в потенциальном поле любой природы. В связи с этим функцию (18.7) называют распределением Больцмана. Таким образом, распределение (18.6) является частным случаем более общего распределения (18.7). Между распределением Максвелла (17.6) и Больцмана (18.7) имеется большое сходство: и в том и в другом распределении в показателе степени экспоненты стоит отношение энергии молекулы (в одном случае потенциальной, а в другом кинетической) к величине кТ , определяющей среднюю кинетическую энергию теплового хаотического движения.

Распределения (17.6) и (18.7) могут быть объединены в одно распределение Максвелла-Больцмана , согласно которому число молекул, компоненты скоростей которых лежат в пределах от
до ,а координаты в пределах от
до равно

где
.

Из формулы (18.8) следует, что
определяется полной энергий молекулы
.

Таким образом, в состоянии с постоянной температурой скорости молекул в каждой точке пространства распределены по закону Максвелла. Влияние силового поля сказывается только на изменении концентрации молекул от точки к точке.

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать